圆与圆的位置关系：北大数学系学霸不会告诉你的“秒杀”秘籍

【来源：易教网 更新时间：2026-04-14】

一、为什么你总是搞不定圆的位置关系？

每次考试遇到圆与圆的题目，是不是都有一种似曾相识却又无从下手的感觉？明明老师讲过，听的时候也明白，可一到自己做题就懵了。

别急着否定自己。其实啊不是你笨，而是你还没掌握这套“万能坐标法”。

今天，学长就把自己当年数学148分的独门秘籍分享出来，保证让你以后遇到这类题目，能稳稳拿分。

二、记住这个核心公式，比刷100道题都管用

圆与圆的位置关系判断，核心就在于比较两个关键数据：圆心之间的距离和两圆半径之和（或差）的绝对值。

设两个圆的方程分别为：

- 圆O：\( (x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2 \)

- 圆O：\( (x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2 \)

圆心O到O的距离为\( d=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2} \)

那么，这两个圆的位置关系判断其实就三句话的事：

- 外离：\( d > r_1 + r_2 \) —— 两个圆彻底分手，老死不相往来

- 外切：\( d = r_1 + r_2 \) —— 两个圆刚好挨着，像这样⊙⊙

- 相交：\( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \) —— 两个圆相互穿插

- 内切：\( d = |r_1 - r_2| \) —— 一个圆贴着另一个圆的肚子

- 内含：\( d < |r_1 - r_2| \) —— 大圆把小圆完全包在里面

你说这难吗？难就难在很多人连\( d \)怎么算都搞不清楚！

三、坐标法：几何问题的“降维打击”

很多同学学几何有个误区：总想着画图、凭感觉。你可知道，真正的高手都是用代数来解决几何问题的。

用坐标法解决圆与圆位置关系的题目，记住这三个步骤：

第一步：建系立方程

拿到题目，第一件事就是建立适当的平面直角坐标系。把题目中所有的几何元素——圆心、半径、交点——都用坐标和方程表示出来。

这就好比给你一张地图，把所有重要地点都标注上经纬度。

第二步：代数运算

有了方程，接下来就是代数计算。用我们上面教的方法，求出圆心距离\( d \)，然后和半径关系进行比较。

这个过程不需要任何想象力，只需要你会代入公式、会计算。

第三步：翻译成结论

算完了\( d \)的值，最后一步就是把代数结果“翻译”成几何结论。是外切还是相交？是内含还是外离？根据你算出的数值下最终判断。

这就是数学的魅力所在——用理性的计算，解决感性的几何问题。

四、真题演练：手把手教你应用

我们来看一道典型例题：

已知圆C：\( x^2+y^2-2x=0 \)和圆C：\( x^2+y^2+4x+3=0 \)，判断这两个圆的位置关系。

解题步骤：

第一步：把两个圆化成标准方程

- 圆C：\( (x-1)^2+y^2=1 \)，圆心O(1,0)，半径\( r_1=1 \)

- 圆C：\( (x+2)^2+y^2=1 \)，圆心O(-2,0)，半径\( r_2=1 \)

第二步：计算圆心距离

\( d=\sqrt{(1-(-2))^2+(0-0)^2}=3 \)

第三步：比较

\( r_1+r_2=2 \)，\( |r_1-r_2|=0 \)

\( 3 > 2 \)，所以\( d > r_1+r_2 \)

两个圆外离。

看明白了吗？只要按这个套路来，这类题目根本不可能出错。

五、考场上的“偷分”技巧

如果你实在算不出来，或者考试时间不够用了，有几个蒙题的小技巧：

- 看到两圆方程系数很相似，大概率是相交或相切

- 看到常数项差距很大，一般是外离或内含

- 题目问“至少有多少个交点”，答案很可能是0或2

当然，这些投机取巧的办法只能作为下下策。真正想拿高分，还是得把上面的方法学扎实。

六、写在最后

数学学习最怕的是什么？不是难题不会做，而是简单题丢分。

圆与圆的位置关系这种知识点，属于典型的“听起来简单，做起来出错”。很多同学考试时明明思路对，最后却因为计算错误或者判断失误丢了分，太可惜了。

希望今天分享的这个方法，能帮你把这类题目变成送分题。

如果觉得有用，点个在看，让更多同学看到。

有数学问题想问学长，评论区见。